信息背后一神奇的代数

　　世界是连续的，还是离散的？一根钢棒，一束光线，看起来都是连续不断的。但古希腊的德漠克利特就认为，万物都是离散的，由极小的原子组成，甚至包括灵魂一现在我们确实已知道，“月魂日魄”的光是由一个个的“光子”组成的，就连时间和空间似乎也是量子化（离散）的。代数（学）就是专门研究离散对象的数学，它是现代数学的三大支柱之一（另两个为分析与几何）。代数从19世纪以来有惊人的发展，带动了整个数学的现代化。随着信息时代的到来，计算机，信息都是数字（离散化）的，甚至电视机．摄像机、照相机都在数字化。知识经济有人也称为数字经济。这一切的背后的科学基础，就是数学，尤其是专门研究离散对象的代数。现在的代数已经是外延极广的综合科学，不是指中学的代数，那只是代数的萌芽。代数发端于“用符号代替数”，后来发展到以符号代替各种事物，乃至于概念，作用，映射。代数的基础研究各种代数系统，即定义了运算的抽象集合。主要的代数系统有：群、环、域、模、格、各种空间等。
　　“群”是最基本的系统，就是有一个运算（及其逆运算）的集合。例如，整数集对加法（及减法）是一个群。再如，对1、2、3这三个数的“操作”全体是一个群，记为S3。这种操作共6个：（）、（12）、（13）、（23）、（123）、（321）。操作（ 123）的意思是：变 1为 2，变 2为 3，变 3为（ l）。操作（ 12）的意思是把回变为2，把2变为1，而3不变。当然操作（l）的意思是全都不变。两个操作A和B的乘积BA定义为先施行人再施行B。例如D（12）（123）＝（23）。 而“环”就是有一又半个运算的集合（所谓半个运算是指它同能无道运算）。例如”星期数”全体还0，互， 2， 3， 4， 5，引就是一个R（对于加法和乘法），这里5的意思是星期五（所以5＋ 3＝ 8＝ l，5 x 3＝ 15＝ l）。 类似地，我们还可考虑钟点数IO，…，11｝，也是一个环（当然3 X 8＝ 24）。有趣的是，我们把星期数的 7改为 2，就得到只有两个元素的环｛ 0， l｝（实际上它还是域，即可以加减乘除，称为“二元域”’，注意其中1＋1＝0）。二元域在现代通信、密码等理论中极重要。代数以如下成果光照历史：解决了困扰人类ZOOO多年的古希腊三大历史名题（三等分角，化圆为方，立方倍积），解决了五次（以上）方程不可（根式）解问题，画正17边形，破译密码等IE题。此外，代数还研究更抽象的“范畴”（例如群的全体是一个范畴），函子等。与代数相关的数学有：线性代数、抽象代数、代数数论、代数几何、代数拓扑、同调代数、拓扑代数、表示论、泛函分析、代数函数论等等。（摘自《现代科学知识·热点问题450例》）